これも中学3年で学習する素因数分解を使えば、求めることができます。
ちなみに、答えは6個です。今からヒントを書きますので、なぜ6個なのか考えてみてください。
1から4までのすべての整数を1つずつかけた積は
1×2×3×4=24
ですので、末尾に0はありません。
1から5までのすべての整数を1つずつかけた積は
1×2×3×4×5=120
ですので、末尾に0が1つ。この積を素因数分解すると
120=2×2×2×3×5=2×2×3×(2×5)
となります。
1から10までのすべての整数を1つずつかけた積を素因数分解すると
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×3×3×5×5×7
=2×2×2×2×2×2×3×3×3×3×7×(2×5)×(2×5)
ですので、末尾に0が2つ並びます。
ちなみに、1から125までのすべての整数を1つずつかけた積の末尾には、0が31個並びます。
余裕があれば、こちらも考えてみてください。